Pembahasan Materi Integral

Ayo belajar kalkulus !!!

Salam teman - teman semua... pada artikel kali ini kita akan belajar mengenai Integral (Turunan). Sebelum kita lanjut kepada pembahasan, alangkah baiknya kita tahu terlebih dahulu apa itu integral.

Integral

Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integral adalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan –batasan.

Definisi Integral

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, maka integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada diatas sumbu-x bernilai positif dan area dibawah sumbu-x bernilai negatif

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, maka disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masingmasing, integral terhubung dengan diferensial:

jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.

Bila f adalah integral tak tentu dari suatu fungsi F maka F'= f. Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui Teorema dasar kalkulus dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada selang I bila F ‘(x) = f(x) untuk x ∈ I ( bila x merupakan titik ujung dari I maka F ‘(x) cukup merupakan turunan sepihak ). Proses mencari anti turunan disebut integrasi ( integral ).

Notasi : ∫ f (x) dx = F(x)+ C disebut integral tak tentu.

Beberapa rumus integral tak tentu yaitu sebagai berikut :

1. ∫xr dx = xrr+ +1 1 + C; r ≠ -1
2. ∫sin x dx =− cos x+ C 8. C;
3. ∫cos x dx = sin x+ C r ≠ -1
4. ∫sec x tan x dx = sec x + C
5. ∫csc x cot x dx = −csc x+ C
6. ∫csc2 x dx = −cot x + C

Penerapan dari beberapa rumus di atas diperlihatkan pada contoh berikut:

Contoh Soal:

Hitung integral tak tentu berikut :

∫ sin(2x +1) dx

Penyelesaian

Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu adalah sifat linear, yaitu :

∫[a f (x) + bg(x)] dx = a∫ f (x) dx +b∫ g(x) dx

Contoh :
Hitung integral : ∫(2x + cos2x)dx

Jawab :
∫(2x + cos2x)dx = ∫2x dx+∫cos 2x dx = x2 + 1/2 sin 2x+ C

Integral Tentu

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika